Wiele jest światów płynących jak pęcherzyki piany po Rzece Czasu…
Arthur C. Clarke
Gdy w październiku 1852 roku Francis Guthrie (były student Augustusa de Morgana) kolorował mapę Anglii, zauważył, że cztery kolory wystarczą, by każde dwa sąsiadujące hrabstwa różniły się barwą. Pomyślał:
Czy cztery barwy wystarczą do pokolorowania dowolnej, nawet najbardziej skomplikowanej mapy?
Pytaniem zainteresowało się zrazu kilku matematyków, w tym de Morgan i Sir William Rowan Hamilton, a później także Arthur Cayley, lecz pierwszy „dowód” pojawił się dopiero w roku 1879. Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik, który studiował z Cayleyem w Cambridge, a później przez wiele lat piastował stanowisko skarbnika Royal Society. Był to zapewne najsłynniejszy fałszywy dowód w całej historii matematyki, choć kryło się w nim także kilka dobrych pomysłów.
Ziemia nie jest idealną kulą
Jak wiadomo, każda mapa zawsze coś zniekształca, a to odległości, a to kąty. Przestańmy się tym przejmować i wyobraźmy sobie światy z gumy, które można poddawać dowolnym deformacjom. Klasyczną planetę można by wtedy przekształcić w sześcian Eneferców z Cyberiady Stanisława Lema. Żadną miarą nie dałoby się z niej zrobić torusa ani precla (wypieku z zasadniczo dowolną liczbą otworów). Wkraczamy tu na teren topologii, określanej czasem jako geometria przedmiotów gumowych. Z jej punktu widzenia sfera i sześcian to to samo, ale sfera i torus – już nie. Przyjęcie tak abstrakcyjnego spojrzenia pozwala na dokonanie pełnej klasyfikacji wszystkich światów będących powierzchniami zamkniętymi bez brzegu, czyli bez urwiska z Kosmosem u spodu (Świat Dysku więc odrzucamy).
Alfred Kempe założył, że wszystkie kraje na Ziemi poza jednym należy pokolorować czterema barwami i pokazał jak rozszerzyć to kolorowanie na ostatni, brakujący kraj. Każdą mapę zawierającą co najwyżej 4 kraje można oczywiście pokolorować czterema barwami zgodnie z regułami sąsiedztwa, zatem taka metoda pozwoliłaby rozszerzyć kolorowanie na 5, 6, 7… krajów, czyli na wszystkie mapy. Otóż łatwo wywnioskować ze wzoru wielościennego Eulera, że na każdej mapie jest kraj, który ma co najwyżej pięciu sąsiadów: dwukąt (kraj o dwóch bokach), trójkąt, kwadrat lub pięciokąt. Kempe dokładnie przeanalizował każdy z tych przypadków oprócz pięciokąta.
Przez 11 lat rozumowanie Kempego było powszechnie akceptowane, m.in. przez Cayleya, więc bomba podrzucona przez Percy’ego Heawooda w 1890 roku wywołała nie lada efekt. Heawood wskazał na fundamentalny błąd w pracy Kempego, ustalił imponujący wynik pięciu kolorów i uogólnił problem kolorowania map na inne powierzchnie. Wykazał też, że minimalna liczba zróżnicowanych barw na torusie wynosi 7 i wymienił podobne mapy.
Światy Równoległe
Należy zauważyć, że istnieją też światy poza sferą wskazane w Ścianie mroku Arthura Clarka. Tworzy się je tak, że w zwykłej sferze wycina się otwór, a potem skleja się ze sobą wszystkie pary przeciwległych punktów tego otworu. Trzeba być Amberytą, żeby to sobie wyobrazić, gdyż operacja jest niewykonalna w 3D (4D już wystarczy). Jeśli to samo zrobimy z większą liczbą otworów, otrzymamy pozostałe powierzchnie drugiej serii. Feralny otwór jest otoczony wysokim murem, za którym panuje ciemność. Kto zapuści się w nią i pójdzie przed siebie, wróci do punktu wyjścia, tyle że jako lustrzane odbicie. Ponieważ można od tego oszaleć, mur wydaje się całkiem sensowny. Z drugiej strony zupełnie zwariowane są konsekwencje doklejania uchwytów do tego świata: nie uwierzycie, ale każdy z nich jest wymienialny na takie dwie dziury jak tamta za murem.
Światy poza sferą są paradoksalnie dość proste. Dla map świata Ściany mroku minimalna liczba barw to sześć (co jest wiadome od 1910 r.), zaś wzór określający tę liczbę dla innych powierzchni drugiej serii znany jest od 1954 r. Problem czterech barw na mapie Ziemi został natomiast rozwiązany (pozytywnie) dopiero w 1976 r. Ciekawe jest to, że dowód twierdzenia o czterech barwach nie był zwykłym dowodem, gdyż wymagał zaprzęgnięcia do pracy komputera, któremu weryfikacja sporej liczby przypadków zajęła ok. 1000 godzin. Dziś zapewne znacznie mniej, lecz nie zmienia to faktu, że nie da się tego zrobić „ręcznie”. To był prawdziwy szok dla całej matematycznej społeczności.
autor: Andrzej Pruszyński
źródło: czasopismomatematyka.pl
#arkusz #ASD #Asperger #AspieZaklinaczka #autyzm #dostosowanie #edukacja #emocje #grupa #IPET #komunikacja #lekcja #logopedia #metody #MikiLittleAspie #motoryka #mowa #pedagog #percepcja #premium #program #przedszkolak #przedszkole #psycholog #rewalidacja #scenariusz #scenariusze #sensoryka #SI #sposoby #społeczne #SylwiaBagińska #szkoła #terapia #uczeń #umiejętnościspołeczne #uwaga #uważność #zabawa #zaburzenia #zajęcia #ZespółAspergera #zmysły #ćwiczenia Autyzm
autyzmwszkole.com 